Numeri di Fibonacci e legami con altri settori

In matematica i numeri di Fibonacci sono legati in qualche modo alla sezione aurea, alla sequenza di Farey, alle frazioni continue, alla zeta di Fibonacci, alla zeta di Riemann, ai gruppi di Lie, ai frattali.

In Fisica sussiste il legame con la teoria delle stringhe. Molti altri legami sono evidenti con la biologia, la cristallografia, la musica, l’economia, l’arte, l’elettrotecnica, l’informatica, ecc. Tuttavia non mancano esempi di “avvistamenti” della serie di Fibonacci un po’ forzati: lo rivelano Gael Mariani e Martin Scott dell’Università di Warwick, con un articolo su New Scientist del settembre 2005.
In chimica [modifica]

Recentemente in Germania scienziati internazionali hanno scoperto la comparsa del numero aureo 1,618 insieme al gruppo di simmetria E8 in un composto chimico (niobato di cobalto), portato artificialmente in uno stato quantistico critico (l’equivalente quantistico dei frattali).

Tramite il principio geometrico delle teorie di stringa si può trovare che i numeri di Fibonacci conservano la simmetria e sono abbastanza vicinissimi ai “Numeri di Lie”, sui quali, invece, si basano i cinque gruppi eccezionali di simmetria G2, F4, E6, E7, E8.

E8 è proprio il gruppo coinvolto in tale recente ed importante scoperta. E8 ha dimensione 57, che è un numero di Lie per n = 7, infatti 7^2+7+1=57, vicinissimo al numero di Fibonacci 55=7^2+7-1 (i numeri di Lie e i numeri di Fibonacci hanno quindi lo stesso DNA geometrico (simmetria) e numerico corrispondente (parabola n^2+n+1 per i numeri di Lie, n^2+n+/-c con n primo e c molto piccolo). Ma il numero 248, collegato a E8, è anche 248 = 15^2+15+8=225+15+8 con numero vicino di Fibonacci 233=15^2+15-7
Nella musica

La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono[3] che importante sia in essa il ruolo della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci.

Sul piano compositivo, attraverso la serie di Fibonacci la sezione aurea può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute, etc. Anche se vi sono stati fraintendimenti numerici: nel 1978, per esempio, nei Kyrie contenuti nel Liber Usualis Paul Larson riscontrò il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche, ma in mancanza di una documentazione che ne attesti un’effettiva volontà di inserimento, la non casualità della ricorrenza rimane tutta a livello puramente congetturale. Simili illazioni sono più volte state espresse circa le opere di Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all’Alma College, convinto anche lui di tale teoria (specialmente per quanto riguarda le sue sonate per pianoforte), dovette ricredersi riscontrando un risultato decente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore.

I musicologi hanno trovato altre applicazioni nei rapporti fra le durate (in misure) delle varie parti dei brani musicali, in particolare si trovano tali rapporti nelle opere di Claude Debussy[4][5]e di Béla Bartók[6][7].

Tra i compositori del XX secolo si evidenziano in proposito Stravinsky, Xenakis, Stockhausen (nel cui brano Klavierstücke IX si hanno frequenti rimandi alle successioni fibonacciane nelle segnature di tempo),Luigi Nono, Ligeti, Giacomo Manzoni e Sofija Asgatovna Gubajdulina che disse a proposito di Bartok:
« […] L’aspetto ritmico della musica di Bartók mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare a fondo la sua applicazione della Sezione Aurea. »

Tuttavia, è fattualmente molto difficile stabilire se l’artista abbia voluto consciamente strutturare l’opera con la sezione aurea o se questa non sia piuttosto frutto della sua sensibilità artistica[8], dato che la sezione aurea si riscontra spesso in natura[9] (come ad esempio nelle stelle marine, in ammoniti, conchiglie, ananas, pigne e nella forma dell’uovo[10]). Infatti, mentre alcuni ritengono che i sopra citati Debussy e Bartok abbiano deliberatamente impiegato la sezione aurea, per altri questo è meno scontato. D’altronde Debussy stesso[11] scrisse esplicitamente al suo editore Durand (nell’agosto 1903):
(FR)
« Vous verrez, à la page 8 de “Jardins sous la Pluie”, qu’il manque une mesure; c’est d’ailleurs un oubli de ma part, car elle n’est pas dans le manuscrit. Pourtant, elle est nécessaire, quant au nombre; le divine nombre […]. »

(IT)
« Lei vedrà, alla pagina 8 di “Jardins sous la Pluie” che manca una battuta; è del resto una mia dimenticanza, perché non è nel manoscritto. Eppure, è necessaria, per il numero; il divino numero […]. »

Nel Novecento le avanguardie della musica colta e molti tra gli eredi del serialismo, come i già citati Karlheinz Stockhausen, György Ligeti e Iannis Xenakis, applicarono invece sistematicamente e intenzionalmente – a differenza della maggioranza dei loro predecessori – i numeri di Fibonacci alla musica, approfondendone lo studio e la conoscenza; facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Pariginel 1972, un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l’applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori.

Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L’esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni.

Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time e i Dream Theater nell’album Octavarium, interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci.

Risale invece al 2001 Lateralus album della band americana Tool che contiene il singolo omonimo “Lateralus” costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci:

i Tool fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci: contando infatti le sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3. Da notare che la canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ([…] To swing on the spiral […] Spiral out. Keep going […]).
In botanica

Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l’astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.

La disposizione delle infiorescenze nelgirasole

I numeri di Fibonacci sono anche in altri fiori come il girasole; difatti le piccole infiorescenze al centro del girasole sono disposte lungo due insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e antiorario.

I pistilli sulle corolle dei fiori spesso sono messi secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci. Di solito lespirali orientate in senso orario sono trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque (due numeri di Fibonacci); altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o ottantanove e centoquarantaquattro. Si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi.

Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l’una con l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e si contano quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata spesso viene un numero di Fibonacci e anche il numero di giri in senso orario o antiorario che si compiono per raggiungere tale foglia allineata dovrebbe essere un numero di Fibonacci. Il rapporto tra il numero di foglie e il numero di giri si chiama “rapporto fillotattico” (vedi Fillotassi).
Nel corpo umano

Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto è aureo, come anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l’avambraccio, e tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore.
In geometria e in natura

La spirale di Fibonacci, creata mediante l’unione di quadrati con i lati equivalenti ai numeri dellasuccessione di Fibonacci.

Se si disegna un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via.

La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasolesopra descritta e delle foglie su un ramo.
Nell’arte

I numeri di Fibonacci sono stati usati in alcune opere d’arte.

Mario Merz li ha usati nell’installazione luminosa denominata Il volo dei numeri, su una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino. Sulle mura di San Casciano in Val di Pesa, inoltre, accanto ad un cervo imbalsamato, sono permanentemente installati i numeri al neon riportanti le cifre 55, 89, 144, 233, 377 e 610. Si tratta di una creazione di Merz realizzata in occasione della mostra Tuscia Electa del 1997[12]. Lo stesso autore ha inoltre realizzato nel 1994 un’installazione permanente sulla ciminiera della compagnia elettrica Turku Energia a Turku, in Finlandia.

Anche il pittore austriaco Helmutt Bruck ha dipinto quadri omaggianti Fibonacci e prodotto opere in serie di 21.

A Barcellona e a Napoli è stata creata un’installazione luminosa: nella città spagnola si trova nell’area della Barceloneta, all’interno dell’area pedonale, dove i numeri sono posti a distanze proporzionali alla loro differenza, mentre a Napoli sono disposti a spirale all’interno della stazione “Vanvitelli” della Linea 1 della Metropolitana, e più precisamente sul soffitto che sovrasta le scale mobili quando, superate le obliteratrici, si scende all’interno della stazione vera e propria.
Nell’economia

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche in economia nell’Analisi tecnica per le previsioni dell’andamento dei titoli in borsa, secondo la teoria delle onde di Elliott.

Studiando i grafici storici dei titoli, Ralph Nelson Elliott sviluppò un metodo basato su tredici conformazioni grafiche dette onde, simili per forma ma non necessariamente per dimensione.

A differenza di altre applicazioni grafiche come medie mobili, trendline, macd, rsi ecc. che si limitano ad indicare il livello di resistenza e di supporto e le angolature del trend “Il principio delle onde di Elliott” è l’unico metodo in grado di individuare un movimento del mercato dall’inizio alla fine e quindi di presumere i futuri andamenti dei prezzi.
In informatica

I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto “Fibonacci heap” che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione di particolari algoritmi.
Nei frattali

Nei frattali di Mandelbrot, governati dalla proprietà dell’autosomiglianza, si ritrovano i numeri di Fibonacci. L’autosomiglianza difatti è governata da una regola o formula ripetibile, così come la successione di Fibonacci.
In elettrotecnica

Una rete di resistori, ad esempio un Ladder Network (Rete a scala), ha una resistenza equivalente ai morsetti A e B esprimibile sia come frazione continua che tramite la sezione aurea o ai numeri di Fibonacci difatti il rapporto Req/R = phi.
Nei giochi sistemici

In qualunque gioco sistemico come totocalcio,superenalotto o roulette i numeri di Fibonacci possono essere utilizzati come montanti per le puntate.

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